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작지만 단단하게

명제

참과 거짓을 구별할 수 있는 문장이나 수학적 식
진리값을 가지고 있고, true와 false로 나뉨

명제의 종류

  1. 합성명제 : 하나 이상의 명제와 논리연산자 그리고 괄호로 이루어진 명제
  2. 조건명제 / 쌍조건명제
  3. 항진명제: 항상 참인 명제 / 모순명제 : 항상 거짓인 명제

논리 상수 = T/F가 정해져있음 명제 = 논리변수

논리 연산

  1. 논리 연산자
연산 연산자
논리곱 (or) ∨
논리합 (and) ∧
부정 (not) ~, ¬
배타적논리합 (xor) ⊻

  1. 조건명제 1) p → q : 명제 p가 조건의 역할을 수행하고, 명제 q가 결론의 역할을 수행
    - p는 q의 충분조건
    - q는 p의 필요조건
    - ex) T→T는 T / T→F는 F / F→T, F→F는 T. q의 결과에 상관없이 p가 F면 T

    2) p ↔ q : 쌍조건 명제. 명제 p와 q가 역할과 결론을 동시에 수행 - (p → q) ∧ (q → p) 로 풀수있음
    - ~(p ⊻ q) 와 결과값이 같다. 두개의 결과값이 같으면 T가 된다고 이해해도 됨
    - ex) q가 T고 q가 F면 (p → q)가 F (q → p)는 T 따라서 논리합은 F

  2. 동치 p ≡ q : 논리적 동치. 명제 p와 q가 논리적으로 동등한 것

    1) 교환법칙 : (p ∨ q) ≡ (q ∨ p), (p ∧ q) ≡ (q ∧ p)
    2) 결합법칙 : (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r), (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
    3) 분배법칙 : p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
    4) 항등법칙 : p ∨ F ≡ p, p ∧ T ≡ p
    5) 지배법칙 : p ∧ F ≡ F, p ∨ T ≡ T
    6) 부정법칙 : p ∧ ~p ≡ F, p ∨ ~p ≡ T
    7) 이중부정법칙 : ~ (~p) ≡ p
    8) 멱등법칙 : p ∨ p ≡ p, p ∧ p ≡ p
    9) 드모르간법칙 : ~(p ∨ p) ≡ ~p ∧ ~q
    10) 흡수법칙 : p ∨ (p ∧ q) ≡ p
    11) 함축법칙 : p → q ≡ ~p ∨ q
    12) 대우법칙 : p → q ≡ ~q → ~p

술어 논리

명제함수 : 변수 값에 의해 함수의 진리값이 결정되는 문장이나 식

  • 변수의 명세
    • 변수의 값을 적시
    • 변수의 범위를 제시 (한정화)
  • 한정화
    • 전체 한정자, ∀ : ‘모든’ 또는 ‘임의의’를 의미. ∀x(P(x))가 참이라면 모든 x에 대해 p(x)가 참임을 의미
    • 존재 한정자, ∃ : ‘존재한다’를 의미. ∃x(P(x))가 참이라면 정의역의 어떤 x에 대해서 p(x)가 참임을 의미

추론

참으로 알려진 명제를 기초로, 다른 명제를 유도해 내는 과정

- 결론의 근거를 제공하는 명제를 '전제'라고 한다
- 새로 유도된 명제는 '결론' 이라고 한다
- 전체를 참이라고 가정했을때 결론이 항상 참이되는 추론을 유효추론이라고 함

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