[이산수학] 행렬

행렬

행과 열로 구성되는 사각형 형태로 수를 배열한 것. 소괄호() 또는 대괄호[]로 표시

• m,n이 양의 정수일때, m개의 행과 n개의 열로 구성된 직사각형의 배열 A를 m x n 행렬이라고 함.
  
• 행렬 A에서 i번째 행, j번째 열의 수를 행렬 A의 (i, j) 원소라고 하며 a₁₂ 등으로 표기 함
  
• 행벡터 : 1 x n 행렬
  
• 열벡터 : m x 1 행렬
  
• 영행렬 : 모든 원소가 0인 행렬
  
  

행렬의 합, 차, 스칼라 곱

1. 행렬의 합, 차
   
   • 크기가 같은 행렬 A, B가 있고, k를 실수라 할 때 A + B는 같은 위치의 원소를 더해서(빼서) 구해지는 행렬
     
   • (1, 2)원소의 값은 a₁₂- b₁₂ 이다
     
   • 합의 교환법칙, 결합법칙, 항등원, 역원이 모두 만족
     
2. 행렬의 스칼라 곱
   
   • kA는 각 원소에 k를 곱해서 구해지는 행렬
     
   • (1, 2)원소의 값은 ka₁₂- kb₁₂ 이다
     
   • 스칼라 곱의 결합법칙, 분배법칙이 만족
     
     

행렬의 곱

A가 m x n 행렬이고, B가 n x m 행렬일 때, 행렬의 곱 AB는 (i,j) 원소가 다음과 같이 정의되는 m x l 행렬
AB의 i행 j열의 성분 = (A의 i행의 성분) X (B의 j열의 성분)의 합

• 곱의 결합법칙, 곱의 분배법칙은 만족
  
• 교환법칙은 만족하지 않음
  
  

행렬의 종류

1. 정방행렬
   
   • n x n 행렬을 n차 정방행렬이라고 하며, n을 정방행렬의 차수라고 함.
     
   • 대각원소 : 정방행렬의 a₁₁, a₂₂, a₃₃ … 원소
     
   • 주대각선 : 대각원소를 포함하는 대각선
     
2. 대각행렬
   
   • n차 정방행렬에서 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 행렬 ((i, j)의 i ≠ j이면 0)
     
3. 스칼라행렬
   
   • 대각원소의 값이 모두 같고, 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 행렬
     
4. 단위행렬
   
   • 대각원소의 값이 모두 1이, 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 행렬
     
   • In으로 표기
     
5. 대칭행렬
   
   • 주대각선을 중심으로 대칭인 행렬
     
   • a₁₃ = a₃₁
     
6. 역대칭행렬(교대행렬)
   
   • n차 정방행렬에서 a₁₃ = -a₁₃, 대각원소가 모두 0인 행렬
     
7. 삼각행렬
   1) 상삼각행렬 : 주대각선 아래에 있는 원소들이 모두 0 (i>j 일때 a_ij = 0)
   2) 하삼각행렬 : 주대각선 위에 있는 원소들이 모두 0 (i<j 일때 a_ij = 0)
   
8. 전치행렬
   
   • 기준이 되는 행렬이 있어야 함
     
   • 행렬 A의 행과 열을 서로 교환한 행렬
     
9. 역행렬
   
   • n차 정방행렬 A,B가 주어졌을때 AB = BA = In인 행렬 B가 존재하는 경우 행렬 A를 역가능하다고 함
     
10. 부울행렬
    
    • 행렬의 모든 원소가 부울값(0 or 1)로만 구성된 행렬
      
    • 부울행렬의 합 : a_ij ∨ b_ij이고 크기가 m x n인 부울행렬 C. C = A ∨ B로 나타냄
      
    • 부울행렬의 차 : a_ij ∧ b_ij이고 크기가 m x n인 부울행렬 C. C = A ∧ B로 나타냄
      
    • 부울행렬의 부울 : A ⊙ B로 표시. 곱할때 0이 있으면 0이, 더할때 1이있으면 1이 된다고 생각하면 간단